Question

已知f（1+sinx）=2+sinx+cos²x，则函数f（x）的解析式为f（x）=

 

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Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：设1+sinx=t，可得sinx=t-1，由sinx的值域得到t的范围，再由同角三角函数间的基本关系sin²x+cos²x=1，用t表示出cos²x，将1+sinx及cos²x换为关于t的关系式，得到f（t）的解析式，再把t化为x即可得到f（x）的解析式，且由t的范围可得出此时x的范围．

解答： 解：设1+sinx=t，可得sinx=t-1，
∵-1≤sinx≤1，
∴0≤1+sinx≤2，即0≤t≤2，
又sin²x+cos²x=1，
∴cos²x=1-sin²x=1-（t-1）²，
∴f（1-sinx）=2+sinx+cos²x可化为f（t）=2+t-1+1-（t-1）²=-t²+3t+1，
则f（x）的解析式为：-x²+3x+1 （0≤x≤2）
故答案为：-x²+3x+1 （0≤x≤2）

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦函数的值域，以及函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握基本关系是解本题的关键．