Question

已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一定点，并且A点到l₁，l₂的距离分别为h₁，h₂，B是直线l₂上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l₁交于点C，则△ABC面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F．设∠FAC=θ，由直角三角形中三角函数的定义，算出AC=

h1

cosθ

且AB=

h2

sinθ

，从而得到△ABC面积S=

1

2

AB•AC=

h1h2

sin2θ

，利用正弦函数的有界性，可得θ=

π

4

时△ABC面积有最小值h₁•h₂．

解答： 解：过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F，
则AF=h₁，AE=h₂，
设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=

h1

cosθ

，
Rt△ABE中，∠ABE=θ，
可得AB=

h2

sinθ

，
∴△ABC面积为S=

1

2

AB•AC=

h1h2

sin2θ

，
∵θ∈（0，

π

2

）
∴当且仅当θ=

π

4

时，sin2θ=1达到最大值1，
此时△ABC面积有最小值h₁•h₂，
故答案为：h₁•h₂

点评：此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．