Question

对于使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做f（x）的下确界，若lga+lgb=0，则

b

1+a2

+

a

1+b2

的下确界为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数的运算性质，得到ab=1，利用基本不等式进行整理，得到函数的值域，得到下确界．

解答： 解：∵lga+lgb=0，
∴a＞0，b＞0，ab=1，
则a+b≥2

ab

=2，
∴

b

1+a2

+

a

1+b2

=

b

ab+a2

+

a

ab+b2

=

b

a(a+b)

+

a

b(a+b)

=

a2+b2

ab(a+b)

=

(a+b)2-2

a+b

=a+b-

2

a+b

，
令t=a+b，t≥2，
y=a+b-

2

a+b

=t-

2

t

，则函数在[2，+∞）上为增函数，
故当t=2时，函数取最小值1，
即

b

1+a2

+

a

1+b2

的下确界为1，
故答案为：1

点评：本题考查函数的值域和基本不等式的应用，解题的关键是求出函数的值域，本题是一个新定义问题，注意理解所给的新定义．