Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由题意得方程组解出b，c的值即可；
（2）分别讨论①当a＞0时②当a＜0时③当a=0时的情况，从而求出函数的单调区间．

解答： 解：（1）f'（x）=x²-ax+b，
由题意，得

f(0)=1 f′(0)=0

即

c=1 b=0.

；
（2）由（1），得f'（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）
由f'（x）=0得x=0或x=a，
①当a＞0时，当x∈（-∞，0）∪（a，+∞）时，f'（x）＞0
当x∈（0，a）时，f'（x）＜0；
故当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）与（a，+∞），单调减区间为（0，a）．
②当a＜0时，当x∈（-∞，a）∪（0，+∞）时，f'（x）＞0
当x∈（a，0）时，f'（x）＜0；
故当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，a）与（0，+∞），单调减区间为（a，0）
③当a=0时，当x∈R时，f'（x）=x²≥0
故当a=0时，f（x）增区间为（-∞，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，曲线的切线问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．