Question

（本小题满分13分）
已知圆和直线，
（1）求证：不论取什么值，直线和圆总相交；
（2）求取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求出最短弦的长；

Answer 1

（1）点（4，3）在圆内；（2），最短弦

分析：（1）由直线l的方程y-3=k（x-4）可得直线l恒通过定点（4，3），而点（4，3）在圆的内部，故直线l与圆C总相交．
（2）先求出圆心到直线l的距离为d，设弦长为L，则( )²+d²＝r²，再根据L的解析式，利用基本不等式求得
L的最小值．
解：（1）证明：由直线l的方程可得y-3=k（x-4），则直线l恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C的方程，得（4-3）²+（3-4）²=2＜4，
所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l与圆C总相交．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则 d＝＝，
又设弦长为L，则()²+d²＝r²，即 ()²＝4?=4-（1+）=3-≥2．
∴当k=1时，()²_min＝2，
∴L_min=2，所以圆被直线截得最短的弦长为2．