Question

定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[-3，-2]上是减函数，若α、β是锐角三角形中两个不相等的锐角，则（　　）

A．f（cosα）＞f（cosβ）

B．f（sinα）＜f（cosβ）

C．f（sinα）＞f（sinβ）

D．f（sinα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析：根据已知条件可知函数为周期是2的周期函数，由函数的周期性和奇偶性，以及f（x）在[-3，-2]上是减函数，可判断函数在[0，1]上是增函数，再根据α、β是锐角三角形中两个不相等的锐角，比较sinα与cosβ的大小，就可判断f（sinα）与f（cosβ）的大小．

解答：解：∵数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）为周期函数，且周期为2，
∵f（x）在[-3，-2]上是减函数，∴f（x）在[-1，0]上是减函数．
又∵f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，∴f（x）在[0，1]上是增函数．
∵α、β是锐角三角形中两个不相等的锐角，
∴α+β＞

π

2

，∴α＞

π

2

-β，∴sinα＞sin（

π

2

-β）
即sinα＞cosβ
又∵α、β是锐角，∴1＞sinα＞cosβ＞0
∴f（sinα）＞f（cosβ）
故选D

点评：本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，周期性的综合应用，且用到了三角函数的有界性与三角函数的单调性，属于综合题．