Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）且f（x）在[-1，0]上是增函数，给出下列四个命题：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于x=l对称；
③f（x）在[l，2l上是减函数；
④f（2）=f（0），
其中正确命题的序号是

①②④

．（请把正确命题的序号全部写出来）

Answer 1

分析：①利用周期性的定义判断．②利用对称性判断．③利用单调性和周期性的关系判断．④利用函数的性质去求值．

解答：解：①由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，所以f（x）是周期函数，所以①正确．
②因为函数f（x）为偶函数，所以f（x+2）=f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以f（x）的图象关于x=l对称，所以②正确．
③因为f（x）是周期为2的周期函数，且函数f（x）在[-1，0]上是增函数，所以f（x）在[l，2l上是增函数，所以③错误．
④因为f（x）是周期为2的周期函数，所以f（x+2）=f（x），即f（2）=f（0），所以④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题的考点是函数的性质的综合考查．对于函数的奇偶性、周期性、对称性和单调性的判断和应用要熟练掌握．