Question

（08年黄冈市质检文） （13分） 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、.

⑴求证:△不是直角三角形；

⑵当的斜率为时，抛物线上是否存在点，使△为直角三角形且为直角（在轴下方）？若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：（1）∵焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的所有直线可设为，

代入抛物线得：，则有，…………………（2分）

进而.…………………（4分）

又，

得为钝角，故△不是直角三角形。…………………（6分）

（2）由题意得AB的方程为，代入抛物线

求得…………………（8分）

假设抛物线上存在点C（），使△为直角三角形且为直角，

此时，以为直径的圆的方程为，将A、B、C三点的坐标代入得：

整理得：…………………（10分）

解得对应点，对应点………………（12分）

则存在使△为直角三角形。

故满足条件的点C有一个：…………………（13分）