Question

已知函数f（x）=

4x

x2+a

．
在探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值问题．为此，我们列表如下

y	0	0.1	0.2	0.5	0.8	1	1.2	1.5	1.8	2	4	6	…
y	0	0.396	0.769	1.6	1.951	2	1.967	1.846	1.698	1.6	0.941	0.649	…

请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．
（1）写出函数f（x）在[0，+∞）（a=1）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）写出函数f（x）（a=1）的定义域，并求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）结合题中所给的表格可得函数f（x）在[0，+∞）（a=1）上的单调增区间和单调减区间．再利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在[1，+∞）
上单调递减．
（2）由于a=1时，函数f（x）=

4x

x2+1

的定义域为R，当x＞0时，利用基本不等式求得f（x） 的值域，当x＜0时，根据-f（x）=

4

(-x)+( 1 -x )

，利用
基本不等式求得函数f（x）的值域，再结合f（0）=0，综合可得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）结合题中所给的表格可得函数f（x）在[0，+∞）（a=1）上的单调增区为[0，1]，单调减区间为[1，+∞）．
下面证明当a=1时，函数f（x）=

4x

x2+1

的单调减区间为[1，+∞）．
设x₂＞x₁≥1，则 f（x₂）-f（x₁）=

4x2

x22+1

-

4x1

x12+1

=

4x2(x12+1)-4x1(x22+1)

(x22+1)(x12+1)

=

4(x2-x1)(1-x1•x2)

(x22+1)(x12+1)

．
由题设可得，x₂-x₁＞0，1-x₁•x₂＜0，(x2+1)2＞0，(x1+1)2＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
即函数f（x）单调减区间为[1，+∞）．
（2）由于a=1时，函数f（x）=

4x

x2+1

的定义域为R，当x＞0时，f（x）=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

≤

4

2

=2，
当且仅当x=1时，取得等号，故此时函数的值域为（0，2]．
当x＜0时，∵-f（x）=

4

(-x)+( 1 -x )

≤

4

2

=2，∴f（x）≥-2，
当且仅当x=-1时，取得等号，故此时函数的值域为[-2，0），
显然，当x=0时，函数f（x）=0．
综上可得，函数f（x）的值域为[-2，2]．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用基本不等式求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．