Question

设f（x）=，其中a∈R，如果当x∈（-∞，1）时，f（x）有意义，求a的取值范围．

Answer 1

解：当a=0时，真数恒大于0，成立；
当a≠0时，
x＜1，0＜2^x≤2¹=2
设b=2^x，
则4^x=b²，0＜b≤2，
＞0，
即ab²+b+1＞0，
a（b+）²-+1＞0，
当0＜b≤2时成立，
当-≤0，a＞0时，
则a（b+）²-+1开口向上，-≤0＜b≤2，
∴二次函数是增函数，
∴f（b）=a（b+）²-+1＞f（0）=1＞0，成立．
当0＜-≤1，a≤-时，
则a（b+）²-+1开口向下，
且b=2时有最小值
∴f（2）=4a+3＞0，a＞-，
∴-＜a≤-．
当1＜-≤2，-＜a≤-时，
则a（b+）²-+1开口向下，
且b=0时有最小值，但b不取0
∴f（0）=1＞0，成立．
-＜a≤-．
当-＞2，-时，
则a（b+）²-+1开口向下，
0＜b≤2＜-，
∴f（b）是增函数
∴f（b）＞f（0）=1＞0，成立
∴-＜a＜0．
综上所述：a＞-．
分析：当a=0时，真数恒大于0，成立；当a≠0时，x＜1，0＜2^x≤2¹=2，设b=2^x，则4^x=b²，0＜b≤2，＞0，即ab²+b+1＞0，所以a（b+）²-+1＞0．由此进行分类讨论，能够求出a的取值范围．
点评：本题考查对数函数的图象和性质的综合运用，综合性强，难度较大．解题时要认真审题，注意换元思想、整体思想和分类讨论思想的灵活运用．易错点是分类不清，考虑不全，造成“会而不对，对而不全”的错误．