Question

已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，
M，N分别为AB，AS中点．
（1）求证：BC⊥平面SAB；
（2）求证：MN∥平面SAD；
（3）求四棱锥S-ABCD的表面积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，即可证明BC⊥平面SAB；
（2）取SD中点P，利用三角形的中位线的性质证得AMNP是平行四边形，可得MN∥AP．再根据直线和平面平行的判定的定理证得MN∥平面SAD．
（3）由条件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根据S_表面积=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD 运算求得结果．

解答： （1）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，
又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB；
（2）证明：取SD中点P，连接MN、NP、PA，
则NP=

1

2

CD，且NP∥CD，
又∵AM=

1

2

CD，且AM∥CD，
∴NP=AM，NP∥AM，
∴AMNP是平行四边形，
∴MN∥AP，
∵AP?平面SAD，MN?平面SAD
∴MN∥平面SAD；
（3）解：∵BC⊥平面SAB，
∴BC⊥SB，
同理，CD⊥SD，
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，
又∵SB=

2

a，
∴S_表面积=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×

1

2

a2+2×

1

2

a•

2

a+a2=(2+

2

)a2．

点评：本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定的定理的应用，求多面体的表面积，属于中档题．