Question

（2013•绵阳二模）已知△ABC的面积S满足3≤S≤3

3

，且

AB

•

BC

=6，

AB

与

BC

的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积、三角形的面积公式和正切函数的单调性即可求出；
（Ⅱ）利用三角恒等变形及三角函数的单调性即可求出．

解答：解：（I）由题意知

AB

•

BC

=|

AB

||

BC

|cosθ=6．
S=

1

2

|

AB

| |

BC

|sin(π-θ)=

1

2

|

AB

| |

BC

|sinθ
=

1

2

|

AB

| |

BC

|cosθtanθ
=

1

2

×6tanθ=3tanθ．
∵3≤S≤3

3

，
∴3≤3tanθ≤3

3

，∴1≤tanθ≤

3

．
又∵θ∈[0，π]，∴

π

4

≤θ≤

π

3

．
（II）∵f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ
=1+sin2θ+2cos²θ
=2+sin2θ+cos2θ=2+

2

sin(2θ+

π

4

)．

∵θ∈[ π 4 ， π 3 ]

，∴(2θ+

π

4

)∈[

3π

4

，

11π

12

]．
∵y=sinx在[

π

2

，π]上单调递减，
∴当2θ+

π

4

=

3π

4

，即θ=

π

4

时，sin(2θ+

π

4

)取得最大值

2

2

，
∴f（θ）的最大值为2+

2

×

2

2

=3．

点评：熟练掌握向量的数量积运算和三角函数的单调性是解题的关键．