Question

（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=

1

3

x³-2x²+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）根据（1）可知k与-

1

k

的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．

解答：解：（1）f'（x）=x²-4x+3，则f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[-1，+∞）；------------（4分）
（2）由（1）可知，

k≥-1 - 1 k ≥-1

---------------------------------------------------------（6分）
解得-1≤k＜0或k≥1，由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：x∈（-∞，2-

2

]∪（1，3）∪[2+

2

，+∞）；-------------------------------（9分）
（3）设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂，
则切线方程是：y-（

1

3

x

3 1

-2

x

2 1

+3x₁）=（

x

2 1

-4x₁+3）（x-x₁），
化简得：y=（

x

2 1

-4x₁+3）x+（-

2

3

x

3 1

+2

x

2 1

），--------------------------（11分）
而过B（x₂，y₂）的切线方程是y=（

x

2 2

-4x₁+3）x+（-

2

3

x

3 2

+2

x

2 2

），--------------------------（，
由于两切线是同一直线，
则有：

x

2 1

-4x₁+3=

x

2 2

-4x₁+3，得x₁+x₂=4，----------------------（13分）
又由-

2

3

x

3 1

+2

x

2 1

=-

2

3

x

3 2

+2

x

2 2

，
即-

2

3

（x₁-x₂）（

x

2 1

+x₁x₂+

x

2 2

）+（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-

1

3

（

x

2 1

+x₁x₂+

x

2 2

）+4=0，即x₁（x₁+x₂）+

x

2 2

-12=0
即（4-x₂）×4+

x

2 2

-12=0，

x

2 2

-4x₂+4=0
得x₂=2，但当x₂=2时，由x₁+x₂=4得x₁=2，这与x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．----------------------------------（16分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．