Question

现有三人被派去各自独立地解答一道数学问题，已知三人各自解答出的问题概率分别为

1

5

，

1

4

，

1

3

，且他们是否解答出问题互不影响．
（Ⅰ）求恰有二人解答出问题的概率；
（Ⅱ）求“问题被解答”与“问题未被解答”的概率．

Answer 1

记“第i个人解答出问题”为事件A_i（i=1，2，3），依题意有      …（1分）
P（A₁）=

1

5

，P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

3

，
且A₁，A₂，A₃相互独立．…（4分）
（Ⅰ）设“恰好二人解答出问题”为事件B，则有
B=A₁A₂

.

A3

+A₁

.

A2

A₃+

.

A1

A₂A₃，且A₁A₂

.

A3

、A₁

.

A2

A₃、

.

A1

A₂A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁A₂

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P（

.

A1

A₂A₃）
=

1

5

×

1

4

×

2

3

+

1

5

×

3

4

×

1

3

+

4

5

×

1

4

×

1

3

=

3

20

．
答：恰好二人解答出问题的概率为

3

20

．          …（6分）
（Ⅱ）设“问题被解答”为事件C，“问题未被解答”为事件D．
D=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，且

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互独立，
则P（D）=P（

.

A1

）•P（

.

A2

）•P（

.

A3

）=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

．
而P（C）=1-P（D）=

3

5

         …（12分）