Question

现有三人被派去各自独立地解答一道数学问题，已知三人各自解答出的问题概率分别为

1

5

，

1

4

，

1

3

，且他们是否解答出问题互不影响．
（Ⅰ）求恰有二人解答出问题的概率；
（Ⅱ）求“问题被解答”与“问题未被解答”的概率．

Answer 1

分析：（I）利用相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率和公式得到恰有二人解答出问题的概率；
（II）利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事件的概率公式得到“问题被解答”的概率．

解答：解：记“第i个人解答出问题”为事件A_i（i=1，2，3），依题意有      …（1分）
P（A₁）=

1

5

，P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

3

，
且A₁，A₂，A₃相互独立．…（4分）
（Ⅰ）设“恰好二人解答出问题”为事件B，则有
B=A₁A₂

.

A3

+A₁

.

A2

A₃+

.

A1

A₂A₃，且A₁A₂

.

A3

、A₁

.

A2

A₃、

.

A1

A₂A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁A₂

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P（

.

A1

A₂A₃）
=

1

5

×

1

4

×

2

3

+

1

5

×

3

4

×

1

3

+

4

5

×

1

4

×

1

3

=

3

20

．
答：恰好二人解答出问题的概率为

3

20

．          …（6分）
（Ⅱ）设“问题被解答”为事件C，“问题未被解答”为事件D．
D=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，且

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互独立，
则P（D）=P（

.

A1

）•P（

.

A2

）•P（

.

A3

）=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

．
而P（C）=1-P（D）=

3

5

         …（12分）

点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则．