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(选做题)请考生在A、B、C三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
A.选修4-1(几何证明选讲)已知AD为圆O的直径,直线BA与圆O相切与点A,直线OB与弦AC垂直并相交于点G,与弧AC相交于M,连接DC,AB=10,AC=12.
(Ⅰ)求证:BA•DC=GC•AD;(Ⅱ)求BM.
B.选修4-4(坐标系与参数方程)求直线(t为参数)被曲线所截的弦长.
C.选修4-5(不等式选讲)(Ⅰ)求函数的最大值;
(Ⅱ)已知a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

【答案】分析:A.(Ⅰ)因为AC⊥OB,所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径,所以∠DCA=90°因为∠BAG=∠ADC,所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以,由此能够证明BA•DC=GC•AD.
(Ⅱ)因为AC=12,所以AG=6,因为AB=10,所以,由Rt△AGB∽Rt△DCA,所以,所以圆的直径2r=15,由此能求出BM.
B.由得直线的普通方程为3x+4y+1=0,由,得,再由点到直线的距离公式能名求出所求的弦长.
…(12分)
C.(Ⅰ)函数定义域为[5,6],y>0.由,能求出ymax
(Ⅱ)a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2=(a-b)4,由此能够证明a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
解答:A.(Ⅰ)证明:因为AC⊥OB,所以∠AGB=90°
又AD是圆O的直径,所以∠DCA=90°
又因为∠BAG=∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角)
所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以
又因为OG⊥AC,所以GC=AG
所以,即BA•DC=GC•AD…(6分)
(Ⅱ)解:因为AC=12,所以AG=6,
因为AB=10,所以
由(1)知:Rt△AGB∽Rt△DCA,所以
所以AD=15,即圆的直径2r=15
又因为AB2=BM•(BM+2r),即BM2+15BM-100=0
解得BM=5.…(12分)
B.解:由得直线的普通方程为3x+4y+1=0,

∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ∴x2+y2=x-y,

由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离
∴所求的弦长为
…(12分)
C.解:(Ⅰ)函数定义域为[5,6],y>0.

当且仅当x-5=6-x时,即当时,
ymax=5.…(6分)
(Ⅱ)a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2

=(a2-b22-4ab(a-b)2=(a+b)2(a-b)2-4ab(a-b)2
=(a-b)2(a2+2ab+b2-4ab)=(a-b)2(a-b)=(a-b)4
∵a≠b,

∴a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).…(12分)
点评:A考查直线与圆的位置关系,是基础题,解题时要认真审题,注意三角形相似的性质和应用;
B考查参数方程和极坐标,是基础题.解题时要认真审题,注意圆的性质和点到直线的距离公式的灵活运用;
C考查不等式的性质和证明,是基础题.解题时要认真审题,注意作差法在不等式证明中的灵活运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(选做题)请考生在A、B、C三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
A.选修4-1(几何证明选讲)已知AD为圆O的直径,直线BA与圆O相切与点A,直线OB与弦AC垂直并相交于点G,与弧AC相交于M,连接DC,AB=10,AC=12.
(Ⅰ)求证:BA•DC=GC•AD;(Ⅱ)求BM.
B.选修4-4(坐标系与参数方程)求直线
x=1+4t
y=-1-3t
(t为参数)被曲线ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
所截的弦长.
C.选修4-5(不等式选讲)(Ⅰ)求函数y=3
x-5
+4
6-x
的最大值;
(Ⅱ)已知a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

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(2012•湖南模拟)选做题(请考生在第16题的三个小题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分,要写出必要的推理与演算过程)
(1)如图,已知Rt△ABC的两条直角边BC,AC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,试求BD的长.
(2)已知曲线C的参数方程为
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数),求曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值.
(3)若a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
,当且仅当
a
x
=
b
y
时上式取等号.请利用以上结论,求函数f(x)=
2
x
+
9
1-2x
(x∈0,
1
2
)的最小值.

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选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分.
(1)(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系下,已知直线l的方程为ρcos(θ-
π
3
)=
1
2
,则点M(1,
π
2
)到直线l的距离为
3
-1
2
3
-1
2

(2)(几何证明选讲选做题) 如图,P为圆O外一点,由P引圆O的切线PA与圆O切于A点,引圆O的割线PB与圆O交于C点.已知AB⊥AC,PA=2,PC=1.则圆O的面积为
4
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

选做题(请考生在两个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分).
(1)在极坐标系中,过圆ρ=6cosθ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为
 

(2)若对于任意角θ,都有
cosθ
a
+
sinθ
b
=1
,则下列不等式中恒成立的是
 

A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.
1
a2
+
1
b2
≤1
D.
1
a2
+
1
b2
≥1

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