Question

【题目】已知A、B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C的下顶点，F为其右焦点点M是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线轴以线段AF为直径的圆交直线AM于点A、N，连接FN交直线l于点点G的坐标为，且，椭圆C的离心率为．

求椭圆C的方程；

试问在x轴上是否存在一个定点T，使得直线MH必过该定点T？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

根据题意可得，解得即可；假设在x轴上存在一个定点，设动点，根据直线与直线的垂直的斜率的关系以及直线的斜率公式即可求出.

由题意得，

，，所求椭圆的方程为．

假设在x轴上存在一个定点，使得直线MH必过定点，

设动点，由于M点异于A，B，故，

由点M在椭圆上，故有，

又由知，，

直线AM的斜率，

又点N是以线段AF为直径的圆与直线AM的交点，

．

直线FN的方程，

，即，

，H两点连线的斜率，

将式代入式，并整理得，

又P，T两点连线的斜率．

若直线MH必过定点，则必有恒成立，

即，

整理得，

将式代入式，

得，

解得，故直线MH过定点．