Question

某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）

Answer 1

分析：（I）服装的实际出厂单价为P，应按x≤100和x＞100两类分别计算，故函数P=f（x）应为分段函数；
（II）由（I）可求出销售商一次订购了450件服装时的出厂价P，450（P-40）即为所求；
也可列出当销售商一次订购x件服装时，该服装厂获得的利润函数，再求x=450时的函数值．

解答：解：（I）当0＜x≤100时，P=60
当100＜x≤500时，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

所以P=f(x)=

60 ，0＜x≤100 62- x 50 ，100＜x≤500

(x∈N)
（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，
则L=(P-40)x=

20x ，0＜x≤100 22x- x2 50 ，100＜x≤500(x∈N)

此函数在[0，500]上是增函数，故当x=500时，函数取到最大值
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．

点评：本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．