Question

某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）
（3）求当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？

Answer 1

分析：（1）当0＜x≤100，x∈N时，P=60．当100＜x≤500，x∈N时，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

即可得出；
（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，根据服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本可得：L=(P-40)x=

20x 22x- x2 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N），把x=450代入即可得出．
（3）利用（2）的解析式，分类讨论：当0＜x≤100，x∈N时，利用一次函数的单调性可得此时的最大值；当100＜x≤500，x∈N时，利用二次函数的单调性即可得出其最大值．

解答：解：（1）当0＜x≤100，x∈N时，P=60．
当100＜x≤500，x∈N时，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

∴P=f(x)=

60 62- x 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N）．
（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，
则L=(P-40)x=

20x 22x- x2 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N）
当x=450时，L=5850
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元；
（3）L=(P-40)x=

20x 22x- x2 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N）
当0＜x≤100，x∈N时，L_max=20×100=2000元，
当100＜x≤500，x∈N时L=-

x2

50

+22x=-

1

50

(x-550)2+6050
当x=500时，L_mzx=6000元
综上，当x=500时，L_mzx=6000元．

点评：本题考查了分段函数的解析式的求法、一次函数与二次函数的单调性的应用、服装的利润与实际出厂单价及成本的关系等基础知识与基本方法，属于难题．