Question

【题目】以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为 ，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0，

∴ρ2sin2α=2ρcosα，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x

（2）解：直线l的参数方程 ，（t为参数，0＜θ＜π），

把直线的参数方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则 ，t1t2=﹣ ，

|AB|=|t1﹣t2|=

= = ，

∴当 时，|AB|取最小值2

【解析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2α=2ρcosα，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）把直线的参数方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|= ，由此能求出当 时，|AB|取最小值2．