Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PB⊥AC；
（Ⅱ）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（Ⅲ）求点A到面PMB的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证PB⊥AC，只要证明AC⊥面PDB，由底面是菱形，PD⊥底面ABCD可得到证明；
（Ⅱ）要证平面PMB⊥平面PAD，只要证BM⊥面PAD即可，只要证明BM⊥AD，由三角形ABD为等边三角形，且M为AD中点得证；
（Ⅲ）利用等积法求点A到面PMB的距离．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
连接AC，BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD⊥面ABCD，∴AC⊥PD，又PD∩BD=D，
∴AC⊥面PBD，而PB?面PBD，∴PB⊥AC；
（Ⅱ）证明：∵PD⊥面ABCD，BM?面ABCD，∴PD⊥BM，
又∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，且M为AD中点，
∴AD⊥BM，又AD∩PD=D，
∴BM⊥面PAD，又∵BM?面PBM，∴面PMB⊥面PAD；
（Ⅲ）解：设点A到面PMB的距离为h，对于三棱锥P-AMB，有V_P-AMB=V_A-BMP，
∴

1

3

×

1

2

×

a

2

×

3 a

2

×a=

1

3

×

1

2

×

3 a

2

×

5 a

2

×h，∴h=

5 a

5

．
即点A到面PBM的距离为

5 a

5

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了直线与平面垂直的性质，训练了利用“等积法”求空间点到面的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．