Question

（本小题满分12分）已知函数。
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：

Answer 1

（I）当时，增区间；当时，增区间减区间（Ⅱ）（Ⅲ）当时有恒成立，恒成立，即上恒成立，令，则，即，从而，所以有成立

试题分析：（I）函数
当时，则上是增函数
当时，若时有
若时有则上是增函数，
在上是减函数               ………（4分）
（Ⅱ）由（I）知，时递增，
而不成立，故  
又由（I）知，要使恒成立，
则即可。 由………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时有恒成立，
且上是减函数，，
恒成立，
即上恒成立 。……………………（10分）
令，则，即，
从而，
成立……（14分）
点评：第一问中求单调区间要对参数k分情况讨论，第二问将不等式恒成立问题转化为求函数最大值问题，这是函数与不等式间常用的转化方法，第三问难度较大需要构造函数，学生不易掌握