Question

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小．

（１）求外周长的最小值，并求外周长最小时防洪堤高h为多少米？
（２）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？

Answer 1

（1）外周长的最小值为米，此时堤高为米．
(2)(米)．（当时取得最小值）

试题分析：（1），AD＝BC+2×=BC+， ，．
设外周长为，则，
   
当，即时等号成立．外周长的最小值为米，此时堤高为米．
(2)设，则
,是的增函数，
(米)．（当时取得最小值）
点评：中档题，利用图象特征，确定得到周长的表达式，在进一步求函数最值过程中，可以应用导数，也可以运用均值定理，应用均值定理时，要注意“一正、二定、三相等”缺一不可。