Question

12．已知函数$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$，其中a∈R．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求证：函数f（x）是偶函数；
（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f^-1（x），若函数y=f（x）+f^-1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log₂3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，$f（x）=-\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^x}+1）$，定义域为R，
$f（-x）=\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^{-x}}+1）$=$\frac{1}{2}x+{log_2}（\frac{{1+{2^x}}}{2^x}）$
=$\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^x}+1）-{log_2}{2^x}$=$-\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^x}+1）$=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）∵函数f（x）与f^-1（x）单调性相同，
∴当a＞0时，函数f（x）为增函数，
则y=f（x）+f^-1（x）在区间[1，2]上为增函数，
则函数的最小值为当x=1时，y=f（1）+f^-1（1）=1+log₂3，
即a+log₂3+f^-1（1）=1+log₂3，则f^-1（1）=1-a，
即f（1-a）=1，
则a（1-a）+log₂（2^1-a+1）=1，
得a=1，
此时f（x）=x+log₂（2^x+1）在[1，2]上是增函数，
则函数的最大值为f（2）=2+log₂（2²+1）=2+log₂5．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的应用，根据函数与反函数的单调性相同建立方程求出a的值是解决本题的关键．