【题目】拟用长度为l的钢筋焊接一个如图所示的矩形框架结构（钢筋体积、焊接点均忽略不计），其中G、H分别为框架梁MN、CD的中点，MN∥CD，设框架总面积为S平方米，BN=2CN=2x米． 
（1）若S=18平方米，且l不大于27米，试求CN长度的取值范围；
（2）若l=21米，求当CN为多少米时，才能使总面积S最大，并求最大值．
【答案】
（1）解：设AB=y米，BC=3x米，
框架总面积为3xy，
框架总长度为3y+7x米，
故 
所以有 
+7x≤27，
故7x2﹣27x+18≤0，
解得 
≤x≤3
（2）解：由（1）知3y+7x=21，
即y=7﹣ 
x（0＜x＜3）
S=3xy=3x（ 
）
=7（﹣x2+3x）=7[﹣（x﹣ 
）2+ 
]
故当x= 时，S有最大值 
平方米
【解析】（1）设AB=y米，BC=3x米，求得框架的总面积和总长度，根据题意得到不等式组，即可得到所求长度的范围；（2）运用矩形的面积公式，可得面积S的二次函数，配方即可得到所求最大值和所求长度．
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．
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【题目】(本小题满分12分)
在直角坐标系中，已知
，若
。
（Ⅰ）求动点P的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点M的直线
与（1）中轨迹
相交于点A、B，求
的面积的最大值.
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【题目】已知点Pn(an ， bn)满足an＋1＝an·bn＋1 ， bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．
（1）求过点P1 ， P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N* ， 点Pn都在(1)中的直线l上．
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【题目】设
，其中 n 为正整数．
（1）求f(1),f(2),f(3) 的值；
（2）猜想满足不等式 f(n)<0 的正整数 n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
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【题目】如果命题 p(n) 对 n=k 成立，那么它对 n=k+2 也成立，又若 p(n) 对 n=2 成立，则下列结论正确的是（ ）
A.p(n) 对所有自然数 n 成立
B.p(n) 对所有正偶数 n 成立
C.p(n) 对所有正奇数 n 成立
D.p(n) 对所有大于1的自然数 n 成立
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