Question

如图，边长为3的正方形ABCD中
（1）点E、F分别是AB、BC上的点，将△BEF，△AED，△DCF分别沿EF、DE、DF折起，使A、B、C三点重合于点P，求PD与平面EFD所成角的正弦值；
（2）当BE=BF=

1

3

BC时，将△AED，△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点Q，求点E到平面QDF的距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）为了找到PD与平面EFD所成角，需找到过点P且垂直于面EFD的垂线．由于PE=PF、DE=DF，故可取EF中点G，连DG、PG，作PH⊥DG于H，证出PH⊥平面EFD，可得PD与平面EFD所成角为∠PDG，然后在Rt△PDG中加以计算，可得PD与平面EFD所成角的正弦值；
（2）根据等体积法利用V_E-PDF=V_D-PEF，结合题意即可算出点E到平面QDF的距离．

解答： 解：（1）∵DP⊥PF，DP⊥PE，PE、PF是平面PEF内的相交直线
∴DP⊥平面PEF，结合EF?平面PEF可得PD⊥EF．
取EF中点G，连经PG、DG，作PH⊥DG于H，
∵E、F为中点，可得△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，从而DG⊥EF
同理可得EF⊥PG
又∵PG∩DG=G，∴EF⊥平面PDG，故EF⊥PH，从而PH⊥平面DEF
∴PD与平面EFD所成角为∠PDG
∵正方形ABCD边长为3，∴PD=3，DE=DF=

3 5

2

，EF=

3 2

2

，DG=

9 2

4

在Rt△PDG中，cos∠PDG=

PD

DF

=

3

9 2 4

=

2 2

3

，可得sin∠PDG=

1-cos2∠PDG

=

1

3

；
（1）由（1）的证明，可得DP⊥平面PEF，
∵△PEF中，PE=PF=

2

3

BC=2，EF=

2

，∴S_△PEF=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，
直角△PDF的面积为S_△PDF=

1

2

×3×2=3
设点E到平面QDF的距离为d，由V_E-PDF=V_D-PEF，可得

1

3

×S△PDF×d=

1

3

×S△PEF×PD，
即

1

3

×3×d=

1

3

×

7

2

×3，解得d=

7

2

，即点E到平面QDF的距离为

7

2

．

点评：本题给出平面图形的翻折，求线面所成的角并求点到平面的距离．着重考查了空间的垂直位置关系的判定与应用、用等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．