Question

已知函数f（x）的定义域（0，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=

f(x)

x2

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A₁，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A₂
（1）已知函数f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈A₁且f（x）∉A₂，求实数h的取值范围
（2）已知f（x）∈A₂，且存在常数k，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k，求k的最小值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由f（x））∈A₁且f（x）∉A₂知g（x）=

f(x)

x

=x²-2hx-h在（0，+∞）上为增函数，F（x）=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）上不是增函数，求导F′（x）=1+

h

x2

；从而确定h的取值范围；
（2）利用反证法先证明f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）成立，再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，从而可是当f（x）∈A₂时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，故当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；从而求最小值．

解答： 解：（1）∵f（x））∈A₁且f（x）∉A₂，
即g（x）=

f(x)

x

=x²-2hx-h在（0，+∞）上为增函数，
∴h≤0；
而F（x）=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）上不是增函数，
且F′（x）=1+

h

x2

；
当F（x）是增函数时，有h≥0；
所以当F（x）不是增函数时，h＜0；
综上，h＜0．
（2）先证明f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）成立，
假设存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，
记

f(x0)

x 2 0

=m＞0，因为f（x）∈A₂，
所以f（x）为“二阶比增函数”，
即

f(x)

x2

是增函数，
所以当x＞x₀＞0时，

f(x)

x2

＞

f(x0)

x 2 0

=m，
即f（x）＞mx²；
所以一定存在x₁＞x₀＞0，使得f（x₁）＞m

x

2 1

＞k成立，
这与f（x）＜k对任意的x∈（0，+∞）成立矛盾，
所以f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）都成立；
再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，
假设存在x₂＞0，使得f（x₂）=0；
∵f（x）为“二阶比增函数”，即

f(x)

x2

是增函数，
∴一定存在x₃＞x₂＞0，使得

f(x3)

x 2 3

＞

f(x2)

x 2 2

=0成立，
这与上述的证明结果矛盾．
所以f（x）=0在（0，+∞）上无解，
综上所述，当f（x）∈A₂时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，
所以当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；
故k的最小值为0．

点评：本题考查了学生对新定义的接受与转化运用的能力，同时考查了导数的综合应用，属于难题．