Question

f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）
（1）求f（x）的定义域；
（2）问是否存在实数a、b，当x∈（1，+∞）时，f（x）的值恰取到一切正数，且f（2）=lg2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由对数的真数大于零得，a^x-b^x＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域．
（2）令 g（x）=a^x-b^x ，由题意可得g（1）=1，f（2）=lg2，解方程组求得a、b的值．

解答：解：（1）由a^x-b^x＞0 （a＞1＞b＞0）得 

a

b

＞1，
故  (

a

b

)x＞1，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）令 g（x）=a^x-b^x ，又a＞1＞b＞0，∴g（x）=a^x-b^x ，在（0，+∞）上为增函数．
当x∈（1，+∞）时，f（x）的值取到一切正数等价于x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，
故g（1）=1，∴a-b=1，①又 f（2）=lg2，∴a²-b²=2，②
由①②得 a=

3

2

，b=

1

2

．

点评：本题主要考查求对数函数的定义域，函数的单调性的判断和证明，属于基础题．