Question

【题目】如图所示，DC⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．

（1）求证：AF∥平面CDE；
（2）求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，

建立如图所示空间直角坐标系．

则C（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），A（2，0，4），F（2，2，0），

则 =（0，2，﹣4）， =（2，0，0）．

=（2，0，0）为平面CDE的一个法向量．

又 =0，AF平面CDE，

∴AF∥平面CDE．

（2）解：设平面AEF的一个法向量为 =（x1，y1，z1），则 ，

∵ ，

∴ ，取z1=1，得 ．

又∵CE⊥平面ABCD，∴平面ABCD一个法向量为 ，

设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，

则

因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明AF∥平面CDE．（2）求出平面AEF的一个法向量和平面ABCD一个法向量，利用向量法能求出平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．