Question

【题目】已知函数，，．

（1）求函数的极值点；

（2）已知T(，)为函数，的公共点，且函数，在点T处的切线相同，求a的值；

（3）若函数在(0，)上的零点个数为2，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(2)a = e. （3）a > e.

【解析】

(1)对函数求导，得到导函数的零点和在零点两侧的单调性，进而得到极值点；（2）点T（x0，y0）为函数，的公共点，且函数，在点T处的切线相同，所以 且，联立两式消参得到，从而求出零点，进而得到参数值；（3）设函数，.则，令得，，函数单调故不可能有2个零点，结合函数单调性证明a > e时有2个零点即可.

（1）因为，所以.

令得，x = -1，

当时，；当时，，

所以函数的极小值点为x = -1，不存在极大值点.

（2）依题意.

因为点T（x0，y0）为函数，的公共点，且函数，在点T处的切线相同.

所以 且，

由②得，，代入①得，，显然，

所以.

因为满足该方程，且函数为单调增函数，所 以，，a = e.

（3）设函数，.

则，

令得，.

当时，，所以为（0，+）上单调增函数，至多1个零点，不符，舍去；

当a > 0时，得，，由（1）知，为（-1，+）上单调增函数，所以在（0，+）上有唯一解，记为， 即的根为.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

因为函数的零点个数为2.

下证：a > e时，函数在（0，+）上的零点个数为2.

因为，

，

，

根据的单调性结合零点存在性定理知，函数在（，x1）上存在一个零点，在（x1，2a）上存在一个零点，故函数在（0，+）上的零点个数为2.

所以a > e.