Question

【题目】如图，长方体中，,点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）120°

【解析】

试题（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面BCE．

（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．

（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），E（0，1，1），

B（1，2，3），C（0，2，0），

∴=（0，1，1），=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，0），

∵=0，=0，

∴DE⊥BE，DE⊥BC，

∵BE平面BCE，BC平面BCE，BE∩BC=B，

∴DE⊥平面BCE．

（2）解：设平面AEB的法向量=（x，y，z），

则，

取x=1，得=（1，0，1），

∵DE⊥平面BCE，∴=（0，1，1）是平面BCE的法向量，

∵cos＜＞==，

∴二面角A﹣EB﹣C的大小为120°．