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    如图，椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
    （1）求C1，C2的方程；
    （2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E．
    （i）证明：MA⊥MB；
    （ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得
    S1
    S2
    =
    17
    32
    ？请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由题意知e=
    c
    a
    =
    		3
    2
    ，2
    		b
    =a    ，由此能求出C1，C2的方程．
    （2）（i）设直线l的方程为y=kx．由
    y=kx
    y=x2-1
    得x2-kx-1=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明MA⊥MB．
    （ii）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，由
    y=k1x-1
    y=x2-1
    ，得点A(k1，k12-1)，由时B(-
    1
    k1
    ，
    1
    k12
    -1)    ．于是S1=
    1
    2
    |MA|•|MB|=
    1
    2
    		1+k12
    •|k1|•
    		1+
    1
    k12
    •|-
    1
    k1
    |=
    1+k12
    2|k1|
    ，同理S2=
    1
    2
    |MD|•|ME|=
    32(1+k12)•|k1|
    (1+4k12)(4+k12)
    ，由题意知，
    1
    64
    (4k12+
    1
    k12
    +17)=
    17
    32
    ，由此求出满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y=
    3
    2
    x    和y=-
    3
    2
    x    ．
    解答： （1）解：由题意知e=
    c
    a
    =
    		3
    2
    ，
    从而a=2b，又2
    		b
    =a    ，解得a=2，b=1．
    故C1，C2的方程分别为
    x2
    4
    +y2=1，y=x2-1    ．（4分）
    （2）（i）证明：由题意知，直线l的斜率存在，
    设为k，则直线l的方程为y=kx．
    由
    y=kx
    y=x2-1
    得x2-kx-1=0，
    设A（x1，y1），B（x2，y2），
    则x1，x2是上述方程的两个实根，
    于是x1+x2=k，x1x2=-1，（5分）
    又点M的坐标为（0，-1），
    ∴kMA•kMB=
    y1+1
    x1
    •
    y2+1
    x2
    =
    (kx1+1)(kx2+1)
    x1x2

    =
    k2x1x2+k(x1+x2)+1
    x1x2
    =
    -k2+k2+1
    -1
    =-1    ，（7分）
    故MA⊥MB，得证．
    （ii）解：设直线的斜率为k1，
    则直线的方程为y=k1x-1，
    由
    y=k1x-1
    y=x2-1
    ，解得
    x=0
    y=-1
    或
    x=k1
    y=k12-1
    ，
    则点A的坐标为(k1，k12-1)
    又直线MB的斜率为-
    1
    k1
    ，
    同理可得点B的坐标为(-
    1
    k1
    ，
    1
    k12
    -1)    ．
    于是S1=
    1
    2
    |MA|•|MB|=
    1
    2
    		1+k12
    •|k1|•
    		1+
    1
    k12
    •|-
    1
    k1
    |=
    1+k12
    2|k1|
    ．（8分）
    由
    y=k1x-1
    x2+4y2-4=0
    ，得(1+4k12)x2-8k1x=0，
    解得
    x=0
    y=-1
    或
    x=
    8k1
    1+4k12
    y=
    4k12-1
    1+4k12
    ，
    则点D的坐标为(
    8k1
    1+4k12
    ，
    4k12-1
    1+4k12
    )    ，
    又直线的斜率为-
    1
    k1
    ，同理可得点E的坐标(
    -8k1
    4+k12
    ，
    4-k12
    4+k12
    )    ，
    于是S2=
    1
    2
    |MD|•|ME|=
    32(1+k12)•|k1|
    (1+4k12)(4+k12)
    ，（10分）
    因此
    S1
    S2
    =
    1
    64
    (4k12+
    1
    k12
    +17)    ，（12分）
    由题意知，
    1
    64
    (4k12+
    1
    k12
    +17)=
    17
    32
    ，
    解得k12=4，或k12=
    1
    4
    ．（12分）
    又由点A，B的坐标可知，k=
    k12-
    1
    k12
    k1+
    1
    k1
    =k1-
    1
    k1
    ，∴k=±
    3
    2
    ．
    故满足条件的直线l存在，且有两条，
    其方程分别为y=
    3
    2
    x    和y=-
    3
    2
    x    ．（13分）
    点评：本题考查椭圆方程和曲线方程的求法，考查满足条件的直线方程的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．
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    1
    n
    [（x1-
    .
    x
    ）2+（x2-
    .
    x
    ）2+∧+（xn-
    .
    x
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    ln22
    22
    +
    ln32
    32
    +…+
    lnn2
    n2
    +
    ln(n+1)2
    (n+1)2
    ＜n-（
    1
    2
    -
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    1
    3
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    a
    ∥
    b
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