Question

已知函数f（x）=lgx+

1

2-x

（1）求函数f（x）的定义域；
（2）证明：f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（3）当x∈[3，5]时，求函数的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）使函数有意义，即可求出f（x）的定义域；
（2）求f′（x），根据f′（x）的符号即可证明f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（3）由（2）便知f（x）在[3，5]上单调递增，这样即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）使原函数有意义，则：x＞0，且x≠2；
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞0，且x≠2}；
（2）f′（x）=

1

xln10

+

1

(2-x)2

＞0；
∴f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（3）由（2）知f（x）在[3，5]是增函数，且f（3）=lg3-1，f（5）=lg5-

1

3

；
∴f（x）在[3，5]上的值域是[lg3-1，lg5-

1

3

]．

点评：考查函数的定义域，用导数证明函数的单调性，根据单调性求函数的值域．