Question

某学生正确解答选择题﹑填空题﹑解答题这三种题型的概率分别为0.6﹑0.5﹑0.5，且解答每种题型正确与否相互独立，现在让该生解选择题﹑填空题﹑解答题各一个，并用ξ表示解对题的个数．
（Ⅰ）求该生至少解对一个题的概率．
（Ⅱ）求ξ的分布列和数字期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：：（Ⅰ）用 A₁、A₂、A₃分别表示该生解对选择题、填空题、解答题的事件，由

.

A

=

.

A1

.

A2

.

A3

且A₁、A₂、A₃ 、

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互独立，能求出该生至少解对一个题的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）用 A₁、A₂、A₃分别表示该生解对选择题、填空题、解答题的事件，

.

A1

，

.

A2

，

.

A3

分别表示A₁、A₂、A₃ 的对立事件，
A表示该生至少解对一个题的事件，

.

A

表示A的对立事件．
∵

.

A

=

.

A1

.

A2

.

A3

且A₁、A₂、A₃ 、

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互独立 …1分
∴P(

.

A

)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)
=（1-0.6）（1-0.5）（1-0.5）=0.1 …3分
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-0.1=0.9，…5分
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3  …6分
P（ξ=0）=0，P(

.

A

)=0.1  …7分
P(ξ=1)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=0．6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35 …8分
P(ξ=2)=P(A1A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2A3)+P(A1

.

A2

A3)
=0．6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4 …9分
P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）=0．6×0.5×0.5=0.15  …10分
∴ξ的分布列为：…11分

ξ	0	1	2	3
P	0.1	0.35	0.4	0.15

 ∴Eξ+0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6．…12分

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．