Question

（1）已知cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos

α+β

2

值．
（2）计算tan70°cos10°（

3

tan20°-1）．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由α与β的范围，确定出α-

β

2

与

α

2

-β的范围，进而求出sin（α-

β

2

）与cos（

α

2

-β），原式中的角度变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值人计算即可求出值；
（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用诱导公式变形，约分即可得到结果．

解答： 解：（1）∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴α-

β

2

∈（

π

4

，π），

α

2

-β∈（-

π

4

，

π

2

），
∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，
∴sin（α-

β

2

）=

5

9

，cos（

α

2

-β）=

5

3

，
则cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

；
（2）原式=

sin70°

cos70°

•cos10°•

3 sin20°-cos20°

cos20°

=

sin70°

cos70°

•cos10°•

2sin(20°-30°)

cos20°

=

cos20°

cos70°

•cos10°•

-2sin10°

cos20°

=

-sin20°

sin20°

=-1．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．