Question

已知cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，
（1）求tanα的值；
（2）求β．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）通过α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系式求出sinα，然后求出tanα．
（2）求出α-β的范围，然后求出sinα，sin（α-β）的值，即可求解cosβ．然后求出β值．

解答： 解：（1）因为cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，∴α-β＞0
所以sinα=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

，
∴tanα=

sinα

cosα

=

4 3 7

1 7

=4

3

；
（2）cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，∴α-β＞0，
α-β∈（0，

π

2

），
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

1-( 13 14 )2

=

3 3

14

，
cosβ=cos[（α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

7

×

13

14

+

3 3

14

×

4 3

7

=

1

2

，
∵0＜β＜α＜

π

2

，∴β=

π

3

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧，考查计算能力．