Question

如图所示，ABCD是一声边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形草地，P是弧TS上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC和CD上的长方形停车场PQCR．
（1）设∠PAB=α，长方形PQCR的面积为S，试建立S关于α的函数关系式；
（2）当α为多少时，S最大，并求最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,应用题,三角函数的求值

分析：（1）延长RP交AB于M，设∠PAB=α（0°＜α＜90°），则AM=90cosα，MP=90sinα，PQ=100-cosα，PR=100-90sinα．由S_PQCR=PQ•PR能求出四边形RPQC的面积S关于α的函数表达式，并能写出定义域．
（2）设t=cosα+sinα．由0°≤α≤90°，知t∈[1，

2

]，cosαsinα=

t2-2

2

，由此能求出停车场面积的最大值．

解答： 解：（1）延长RP交AB于M，设∠PAB=α（0°＜α＜90°），
则AM=90cosα，MP=90sinα，
PQ=100-90cosα，PR=100-90sinα．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosα）（100-90sinα）
=10000-9000（cosα+sinα）+8100cosαsinα，{θ|0≤α≤

π

2

}．
（2）设t=cosα+sinα，
∵0°≤α≤90°，知t∈[1，

2

]，cosαsinα=

t2-2

2

，
∴S_PQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050（t-

10

9

）²+950．
∴当t=

2

时，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为14050-9000

2

平方米．

点评：本题考查函数在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分析数量间的相互关系，合理地建立方程．易错点是忽视数学表达式在生产实际中的定义域的范围．