Question

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值；
（3）已知函数g（x）=x³+3m²x+2m-

3

2

（m为实数），若对任意x₁∈[

1

e

，e]，x₂∈[0，1]，总有f（x₁）＜g（x₂）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）对f（x）进行求导，f′（x）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；
（3）求出g（x）最小值为g(0)=2m-

3

2

，命题等价于f（x）_max＜g（x）_min，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）f′(x)=

a

x

-2bx．
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，解得

a=1 b= 1 2

…（3分）
（2）f(x)=lnx-

1

2

x2，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

…（5分）
当

1

e

≤x≤e时，令f'（x）＞0得

1

e

＜x＜1；令f'（x）＜0，得1＜x＜e；
∴f(x)在(

1

e

，1)上单调递增，在（1，e）上单调递减，
∴f(x)max=f(1)=-

1

2

…（8分）
（3）由g'（x）=3x²+3m²≥0知g（x）在[0，1]上单调增．  …（9分）
g（x）最小值为g(0)=2m-

3

2

，…（10分）
命题等价于f（x）_max＜g（x）_min…（11分）
即-

1

2

＜2m-

3

2

得m＞

1

2

…（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．