Question

已知函数f（x）=

a

3

x³-

1

2

（a+1）x²+x-

1

3

，a∈R，
（1）若a＜0，求函数f（x）极值；
（2）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点？若存在，求出a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，通过导数的正负求函数的极值；（2）通过导数的正负判断出函数的单调性，结合根的存在性定理求解．

解答： 解：（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-1）（x-

1

a

）
∵a＜0，∴

1

a

＜1，

	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

∴f（x）极小值=f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

，f（x）极大值=f（1）=-

1

6

（a-1）
（2）f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

=-

(a-1)(2a-1)

6a2

，f（1）=-

1

6

（a-1）
f（2）=

1

3

（2a-1），f（0）=-

1

3

＜0，
①当a≤

1

2

时，f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，f（0）＜0，f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）≤0，
所以f（x）在区间[0，1]，（1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；
②当

1

2

＜a≤1时，f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，

1

a

]上为减函数，[

1

a

，2]上为增函数，
f（0）＜0，f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（

1

a

）=-

(a-1)(2a-1)

6a2

＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
所以f（x）只在区间[0，1]上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
③当a＞1时，f（x）在[0，

1

a

]上为增函数，在[

1

a

，1]上为减函数，[1，2]上为增函数，
f（0）＜0，f（

1

a

）=-

(a-1)(2a-1)

6a2

＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，
，所以f（x）只在区间（1，2）上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
综上所述，存在实数a，当a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点．

点评：本题考查了导数的应用，包括单调性与极值的判断，同时考查了分类讨论的思想，综合性很强．