Question

设函数f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

，x∈R．
（Ⅰ）若x∈[-

π

2

，0]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）将f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

化简，变形后可以用三角函数的有界性求其值域．
（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

=-

1

2

cosx-

3

2

sinx+cosx+1
=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1
=sin（x+

5π

6

）+1
若x∈[-

π

2

，0]，x+

5π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin（x+

5π

6

）∈[

1

2

，1]，
因此函数f（x）的值域为[

3

2

，2]．
（II）由f（B）=1 得sin（B+

5π

6

）+1=1，即sin（B+

5π

6

）=0，即B+

5π

6

=0或π，B=

π

6

或-

5π

6

又B是三角形的内角，所以B=

π

6

由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
即1=a²+3-3a，整理a²-3a+2=0
解得a=1或a=2．

点评：考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．