Question

如图，在直三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E，F，D分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CD⊥C₁D．
（Ⅰ）求证：CD∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A₁C₁D．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AD，交BE于点M，连结FM，由已知得四边形ABDE为平行四边形，由此能证明CD∥平面BEF．
（Ⅱ）由已知得∠ACB=90°，从而A₁C₁⊥面BC₁，进而A₁C₁⊥CD，又CD⊥C₁D，从而CD⊥平面A₁C₁D，由此能证明平面BEF⊥平面A₁C₁D．

解答： 证明：（Ⅰ）连结AD，交BE于点M，连结FM，
∵E，D分别为棱的中点，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴点M为BE的中点，而F为AC中点，
∴FM∥CD，
∵CD不包含于面BEF，FM?平面BEF，
∴CD∥平面BEF．
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠ACB=90°，
∴A₁C₁⊥面BC₁，而CD?面BC₁，
∴A₁C₁⊥CD，又∵CD⊥C₁D，
∴CD⊥平面A₁C₁D．
由（1）知FM∥CD，∴FM⊥面A₁C₁D，
而FM?面BEF，∴平面BEF⊥平面A₁C₁D．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．