Question

已知函数f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和的正弦公式化简f（x），求出f（x）的最小正周期T以及单调递增区间；
（2）平移函数y=sinx的图象，得到函数y=sin（x+

π

3

）的图象，再得函数y=sin（

x

2

+

π

3

）的图象，然后得函数y=2sin（

x

2

+

π

3

）的图象．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），x∈R；
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π；
令z=

x

2

+

π

3

，函数y=sinz的单调递增区间是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z）；
由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
得-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间为[-

5π

3

+4kπ，

π

3

+4π]，（k∈Z）；
（2）把函数y=sinx图象向左平移

π

3

个单位，得到函数y=sin（x+

π

3

）的图象；
再把函数y=sin（x+

π

3

）的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（

x

2

+

π

3

）的图象；
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2sin（

x

2

+

π

3

）的图象．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题和三角函数的图象平移问题，是中档题．