Question

如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC=60°，
求：（1）BC⊥平面MAC；
（2）MC与平面CAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BC⊥MC，MA⊥平面ABC，从而BC⊥MA，由此能求出BC⊥平面MAC．
（2）由MA⊥平面ABC，知∠MCA是MC与平面CAB所成角，由此能求出MC与平面CAB所成角的正弦值．

解答： 解：（1）∵Rt△BMC中，斜边BM=5，
∴BC⊥MC，
∵BM在平面ABC上的射影AB长为4，
∴MA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴BC⊥MA，
又MA∩MC=M，
∴BC⊥平面MAC．
（2）∵MA⊥平面ABC，∴∠MCA是MC与平面CAB所成角，
∵BM=5，AB=4，∠MBC=60°，
∴MA=3，BC=

5

2

，MC=

5

2

3

，
∴sin∠MCA=

MA

MC

=

3

5 2 3

=

2 3

5

．
∴MC与平面CAB所成角的正弦值为

2 3

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．