Question

将函数y=sinx图象上的所有点向左平移

π

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个单位长度，得到曲线C₁，再把曲线C₁上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若函数f（x）=g（x）-cos2x-1，求f（x）的最小正周期；
（3）在（2）的条件下，若函数y=f（x）-k在[0，π）内恰有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用图象的变换规律，即可求出函数y=g（x）的解析式；
（2）求出函数f（x）=g（x）-cos2x-1，即可求f（x）的最小正周期；
（3）求出-2≤f（x）≤0，利用函数y=f（x）-k在[0，π）内恰有两个零点，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）由已知将函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位长度，得到y=sin（x+

π

6

），
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），
得到函数g（x）=sin（2x+

π

6

）；
（2）f（x）=g（x）-cos2x-1=sin（2x+

π

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）-cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小正周期为π；
（3）∵x∈[0，π），
∴-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-2≤f（x）≤0，
∵函数y=f（x）-k在[0，π）内恰有两个零点，
∴-2＜k＜0．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．