Question

设函数f（x）=

lnx+x2-a

（a∈R），若存在b∈[1，e]，使得f（f（b））=b成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[0，1]
• B、[0，2]
• C、[1，2]
• D、[-1，0]

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，问题转化为“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[1，e]．由y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]．因此，将方程

lnx+x2-a

=x，化简整理得lnx=a，记F（x）=e^x，G（x）=a，求出F（x）=lnx在[1，e]内的值域，即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[1，e]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，
根据

lnx+x2-a

=x，化简整理得lnx=a．
记F（x）=lnx，G（x）=a，
由x∈[1，e]，
可得F（x）∈[0，1]，即0≤a≤1．
即实数a的取值范围为[0，1]．
故选：A．

点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题