Question

【题目】如图，A，B，C的坐标分别为（﹣ ，0），（ ，0），（m，n），G，O′，H分别为△ABC的重心，外心，垂心．

（1）写出重心G的坐标；
（2）求外心O′，垂心H的坐标；
（3）求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．

Answer 1

【答案】
（1）解：重心G的坐标为（ ， ）
（2）解：设外心O′，垂心H的坐标为（0，a），（m，b），BC的中点为D，

∵A，B，C的坐标分别为（﹣ ，0），（ ，0），（m，n），

∴ =（m﹣ ，n），D的坐标为（ + ， ），

∴ =（ + ， ﹣a）， =（m+ ，b），

由 ，

则 ，

即 ，

∴外心O′的坐标为（0， ），垂心H的坐标为（m， ）

（3）证明：由（1）（2）可知 =（ ， ），

=（ ， ），

得 =2 ，

∴G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|

【解析】（1）根据重心坐标公式即可求出，（2）设外心O′，垂心H的坐标为（0，a），（m，b），根据向量的坐标运算得到 =（m﹣ ，n），D的坐标为（ + ， ）， =（ + ， ﹣a）， =（m+ ，b），由题意得到由 ，化简计算得到即 ，即可求出外心O′，垂心H的坐标；（3）根据向量的坐标运算得到 =2 ，根据向量的共线条件即可证明．