【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:ρ2﹣3ρ﹣4=0(ρ≥0).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求∠AOB的值.
【答案】
(1)解:直线l的参数方程为 (t为参数),
即为 ,消去t,可得直线l的普通方程为 x+y+4=0;
曲线C的极坐标方程为:ρ2﹣3ρ﹣4=0(ρ≥0).即为ρ=4,(﹣1舍去),
由x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x2+y2=16
(2)解:圆C的圆心为(0,0),半径r=4,
C到直线的距离为d= =2,
|AB|=2 =2 =4 ,
由余弦定理可得cos∠AOB= = =﹣ ,
可得 .
【解析】(1)运用特殊角的三角函数值及代入法,可得直线l的普通方程;解得ρ=4,由x2+y2=ρ2 , 可得曲线C的直角坐标方程;(2)求得圆心到直线的距离,弦长AB,由余弦定理,计算即可得到所求∠AOB的值.
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【题目】某小区规划时,计划在周边建造一片扇形绿地,如图所示已知扇形绿地的半径为50米,圆心角从绿地的圆弧边界上不同于A,B的一点P处出发铺设两条道路PO与均为直线段,其中PC平行于绿地的边界记其中
当时,求所需铺设的道路长:
若规划中,绿地边界的OC段也需铺设道路,且道路的铺设费用均为每米100元,当变化时,求铺路所需费用的最大值精确到1元.
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【题目】已知函数f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|.
(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a的取值范围.
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【题目】设分别是正方体的棱上两点,且,给出下列四个命题:①三棱锥的体积为定值;②异面直线与所成的角为;③平面;④直线与平面所成的角为.其中正确的命题为( )
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①④
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【题目】近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织,现把该组织的成员按年龄分成组第组,第组,第组,第组,第组,得到的频率分布直方图如图所示,已知第组有人.
(1)求该组织的人数;
(2)若在第组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第组各抽取多少名志愿者?
(3)在(2)的条件下,该组织决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验,求第组至少有名志愿者被抽中的概率.
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【题目】一个自然数若与它的“反序数”相等,这个自然数就称为一个“魔幻数”如数“”、“”都是“魔幻数”在的元素中,去掉所有的“魔幻数”后,形成一个不含“魔幻数”的子集,则中的元素共有______个.
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【题目】某服装厂生产一种服装,每件服装成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,规定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低元,根据市场调查,销售商一次订购不会超过600件.
(1)设一次订购件,服装的实际出厂单价为元,写出函数的表达式;
(2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?
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