Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： （a＞b＞0）过点（ ，1），且与直线 x+2y﹣4=0相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若椭圆E与x轴交于M、N两点，椭圆E内部的动点P使|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆E： （a＞b＞0）与直线 x+2y﹣4=0相切，联立 ，

整理得（ ）x2﹣2 a2x+4a2﹣a2b2=0，

由△=0，可得 …①

∵椭圆E： （a＞b＞0）过点（ ，1），∴ …②

由①②得a2=4，b2=2．∴椭圆E的方程：

（2）解：由（1）得M（﹣2，0））、PN（2，0），设P（m，n）

∵|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，

∴|PO|2=|PN||PM|（m2+n2）2=

m2=n2+2，…③

∵ ，∴ =2n2﹣2

∵P在椭圆E内部，∴0≤n2＜1，

∴ ．即 的取值范围为[﹣2，0）

【解析】（1）由椭圆E： （a＞b＞0）与直线 x+2y﹣4=0相切，联立 ，由△=0，可得 …①，由椭圆E： （a＞b＞0）过点（ ，1），∴ …②，由①②得a2 ， b2（2）设P（m，n），由|PO|2=|PN||PM|（m2+n2）2= m2=n2+2， ∴ =2n2﹣2，由n的范围求得其范围，
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．