Question

【题目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．

（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．

Answer 1

【答案】
（1）证明：记A1B∩AB1=O，连接OD．

∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，

又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．

又∵A1C平面AB1D，OD平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D．

（2）证明：∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC．

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，

平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C．

或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．

∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM．

又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D平面AB1D，

∴BM⊥平面AB1D．

又∵BM平面ABM，

∴平面AB1D⊥平面ABM．

【解析】（1）先设A1B∩AB1=O，连接OD，再利用三角形的中位线可证A1C∥OD，进而利用线面平行的判定定理可证A1C∥平面AB1D；（2）先利用面面垂直的性质定理可证AD⊥平面BB1C1C，进而可证AD⊥BM，再利用线面垂直的判定定理可证BM⊥平面AB1D，进而利用面面垂直的判定定理可证平面AB1D⊥平面ABM．