Question

（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况求|f（x）|的最大值．特别当0＜a＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．

解答：解：（1）因为f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x²-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；
（2）由于f′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a-1．
当0＜a＜1时，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x1=1-

1-a

，x2=1+

1-a

．
所以，当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值f(x1)=1+2(1-a)

1-a

，极小值f(x2)=1-2(1-a)

1-a

．
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，f(x1)-f(x2)=4(1-a)

1-a

＞0．
从而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
当0＜a＜

2

3

时，f（0）＞|f（2）|．
又f(x1)-f(0)=2(1-a)

1-a

-(2-3a)=

a2(3-4a)

2(1-a) 1-a +2-3a

＞0
故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a)

1-a

．
当

2

3

≤a＜1时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)

1-a

-(3a-2)=

a2(3-4a)

2(1-a) 1-a +3a-2

．
所以当

2

3

≤a＜

3

4

时，f（x₁）＞|f（2）|．
故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a)

1-a

．
当

3

4

≤a＜1时，f（x₁）≤|f（2）|．
故f（x）_max=|f（2）|=3a-1．
综上所述|f（x）|_max=

3-3a，a≤0 1+2(1-a) 1-a ，0＜a＜ 3 4 3a-1，a≥ 3 4

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题．